Родился 14 августа 1967 года в посёлке Лазаревское Краснодарского края. Отец — Николай Геворкович Арутюнян. Фамилия при рождении — Арутюнян. Своё этническое происхождение охарактеризовал следующим образом: «75 процентов русских кровей, 25 — армянских», отметив при этом, что считает себя русским, поскольку он вырос в русской среде, армянского языка не знает, но армянскими корнями тоже гордится.
В 1985—1987 годах служил в армии. В 1989 году, будучи студентом второго курса, начал работать в одном из коммерческих банков Краснодара. В 1993 году окончил экономический факультет Кубанского государственного университета по специальности «Экономическое и социальное планирование». В 1994 году завершил карьеру банкира заместителем управляющего банком.
В 1994 году создал с партнёрами дистрибьюторскую компанию «Трансазия», которая занималась дистрибуцией косметики и парфюмерии «Avon», «Johnson & Johnson», «Procter & Gamble». В 1995 году «Трансазия» стала эксклюзивным дистрибьютором «Procter & Gamble» в Южном регионе. В 1995 году Сергей Галицкий вышел из этого бизнеса и основал компанию «Тандер». В 1998 году открыл в Краснодаре магазин формата Cash&Carry.
В 2000 году, сменив формат магазинов на дискаунтеры, переименовал сеть в «Сеть магазинов Магнит». В 2001 году «Магнит» с 250 магазинами стал крупнейшей розничной сетью в России. В 2006 году разместил акции «Магнита» на РТС и ММВБ (за 19 % акций инвесторы заплатили 368 млн долларов США). В 2011 году его «детище» футбольный клуб «Краснодар» был включён в Премьер-лигу.
13 сентября 2011 года указом губернатора Краснодарского края С. Н. Галицкий был удостоен звания «Герой Труда Кубани».
В мае 2013 года было начато строительство одного из крупнейших спортивных сооружений в Южном федеральном округе — стадиона для футбольного клуба «Краснодар». Сергей Галицкий полностью финансировал строительство стадиона. 9 октября 2016 года стадион был открыт товарищеским матчем, в котором сборная России встречалась со сборной Коста-Рики.
В сентябре 2017 года рядом со стадионом «Краснодар» был открыт парк. На территории парка, площадь которого составляет почти 23 гектара, расположились: летний амфитеатр, сад, смотровая площадка, фонтан, который зимой превращается в каток, скалодром, скейт-парк, площадка для стритбола, детская площадка и многое другое.
24 октября 2017 года Распоряжением Президента Российской Федерации награждён Почётной грамотой Президента Российской Федерации за заслуги в развитии предпринимательства, активную общественную деятельность и многолетнюю добросовестную работу.
В январе 2018 года был включен в «кремлёвский список» Минфина США.
16 февраля 2018 года продал ВТБ 29,1% акций сети розничных магазинов «Магнит». О подписании соответствующего договора рассказал Галицкий на Инвестиционном форуме в Сочи. Сумма сделки составила 138 млрд рублей.